이차 상호 법칙

3. 이차 상호 법칙의 명제

홀수소수 와 와 서로소인 정수 에 대해, 가 에 대한 제곱잉여이면 1, 그렇지 않으면 -1의 값을 갖는 기호 $\backslash left(\; \backslash frac\{a\}\{p\}\; \backslash right)$를 정의한다. 이를 '''르장드르 기호'''라고 부른다.

:$\backslash left(\; \backslash frac\{a\}\{p\}\; \backslash right)\; :=$

\begin{cases}

1 &\text{if } \exists x \in \mathbb{Z} [ x^2 \equiv a \pmod p ]\\

• 1 &\text{if } \forall x \in \mathbb{Z} [ x^2 \not\equiv a \pmod p]

• 만약 와 중 적어도 하나가 4로 나눈 나머지가 1이면 ($p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$ 또는 $q\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$), 두 합동식은 둘 다 해를 갖거나 둘 다 해를 갖지 않는다.
• 만약 와 모두 4로 나눈 나머지가 3이면 ($p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$ 이고 $q\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$), 두 합동식 중 하나는 해를 갖고 다른 하나는 해를 갖지 않는다.

• '''제1 보충 법칙''': -1이 에 대한 제곱잉여인지 알려준다.

• '''제2 보충 법칙''': 2가 에 대한 제곱잉여인지 알려준다.

4. 다양한 형태의 이차 상호 법칙

이차 상호 법칙은 여러 가지 동등한 방식으로 표현될 수 있다. 가장 기본적인 형태는 르장드르 기호를 사용한 것이다.

=== 르장드르 기호와 보충 법칙 ===

서로 다른 두 홀수 소수 $p$와 $q$에 대하여 르장드르 기호 $\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)$는 합동식 $x^2\; \backslash equiv\; p\; \backslash pmod\; q$가 해를 가질 때 (즉, $p$가 $q$에 대한 제곱잉여일 때) $1$, 해를 가지지 않을 때 (즉, $p$가 $q$에 대한 제곱비잉여일 때) $-1$로 정의된다. 이를 이용하면 '''이차 상호 법칙'''은 다음과 같이 간결하게 표현된다.

:$\backslash left(\backslash frac\; pq\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\; qp\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\backslash frac\{q-1\}\{2\}\}$

이 식의 우변은 $p$와 $q$를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 $-1$이 되고, 그 외의 경우에는 $1$이 된다.

이차 상호 법칙과 함께 다음 두 가지 보충 법칙이 기본적으로 사용된다. $p>2$가 소수일 때 다음이 성립한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{-1\}p\backslash right)=(-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\}$

:$\backslash left(\backslash frac2p\backslash right)=(-1)^\{\backslash frac\{p^2-1\}\{8\}\}$

이를 각각 '''이차 상호 법칙의 제1 보충'''(first supplement to quadratic reciprocity^영어)과 '''이차 상호 법칙의 제2 보충'''(second supplement to quadratic reciprocity^영어)이라고 한다. 제1 보충 법칙에 따르면, $-1$은 $p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$일 때 $p$를 법으로 제곱잉여이고, $p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$일 때 제곱비잉여이다. 제2 보충 법칙에 따르면, $2$는 $p\; \backslash equiv\; 1,\; 7\; \backslash pmod\; 8$일 때 $p$를 법으로 제곱잉여이고, $p\; \backslash equiv\; 3,\; 5\; \backslash pmod\; 8$일 때 제곱비잉여이다.

이 두 보충 법칙을 결합하여 $-2$에 대한 법칙도 유도할 수 있다.

:$\backslash left(\backslash frac\{-2\}\{p\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{-1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{p^2-1\}\{8\}\}\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{p^2+4p-5\}\{8\}\}$

따라서 $-2$는 $p\; \backslash equiv\; 1,\; 3\; \backslash pmod\; 8$일 때 $p$를 법으로 제곱잉여이고, $p\; \backslash equiv\; 5,\; 7\; \backslash pmod\; 8$일 때 제곱비잉여이다.

=== 야코비 기호 ===

야코비 기호 $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)$는 르장드르 기호를 일반화한 것으로, 아래 수 $n$이 양의 홀수이기만 하면 정의된다 ($n$이 소수일 필요는 없다). $n\; =\; p\_1\; p\_2\; \backslash dots\; p\_k$가 $n$의 소인수분해일 때, 야코비 기호는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_1\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_2\}\backslash right)\; \backslash dots\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_k\}\backslash right)$

르장드르 기호의 기본 성질들은 야코비 기호로 확장된다. 1이 아닌 두 서로소 양의 홀수 $m$과 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{m\}\{n\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{(m-1)(n-1)\}\{4\}\}$

또한 보충 법칙도 유사하게 성립한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{-1\}\{n\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{n-1\}\{2\}\}$

:$\backslash left(\backslash frac\{2\}\{n\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{n^2-1\}\{8\}\}$

:$\backslash left(\backslash frac\{-2\}\{n\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{n^2+4n-5\}\{8\}\}$

단, 주의할 점은 $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; 1$이라고 해서 반드시 $a$가 $n$을 법으로 제곱잉여인 것은 아니라는 점이다. 예를 들어, $\backslash left(\backslash frac\{2\}\{15\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{5\}\backslash right)\; =\; (-1)(-1)\; =\; 1$이지만, $x^2\; \backslash equiv\; 2\; \backslash pmod\{15\}$를 만족하는 정수 $x$는 존재하지 않는다.

=== 르장드르, 가우스, 결합된 명제 ===

이차 상호 법칙은 다음과 같은 여러 동등한 명제로 표현될 수 있다.

'''르장드르의 명제''': 서로 다른 홀수 소수 $p,\; q$에 대해,

• 만약 $p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$ 또는 $q\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$ (또는 둘 다)이면, $x^2\; \backslash equiv\; q\; \backslash pmod\; p$가 해를 가질 필요충분조건은 $x^2\; \backslash equiv\; p\; \backslash pmod\; q$가 해를 가지는 것이다. 즉, $\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)$이다.
• 만약 $p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$이고 $q\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$이면, $x^2\; \backslash equiv\; q\; \backslash pmod\; p$가 해를 가질 필요충분조건은 $x^2\; \backslash equiv\; p\; \backslash pmod\; q$가 해를 가지지 않는 것이다. 즉, $\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; =\; -\backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)$이다.

• $q\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{4\}$인 경우, $x^2\; \backslash equiv\; p\; \backslash pmod\{q\}$가 해를 가지는 필요충분조건은 $x^2\; \backslash equiv\; q\; \backslash pmod\{p\}$가 해를 가지는 것이다.
• $q\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\{4\}$이고 $p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\{4\}$인 경우, $x^2\; \backslash equiv\; p\; \backslash pmod\{q\}$가 해를 가지는 필요충분조건은 $x^2\; \backslash equiv\; -q\; \backslash pmod\{p\}$가 해를 가지는 것이다. (르장드르 기호로는 $\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{-q\}\{p\}\backslash right)$)

• '''오일러의 공식''':^[22] 만약 $p,\; q$가 서로 다른 홀수 소수이고, $a$가 정수일 때, $p\; \backslash equiv\; \backslash pm\; q\; \backslash pmod\{4a\}$이면 $\backslash left(\backslash tfrac\{a\}\{p\}\backslash right)=\backslash left(\backslash tfrac\{a\}\{q\}\backslash right)$이다.
• '''아이젠슈타인의 공식''':^[24] 홀수 소수 $p\backslash ne\; q$와 $p\text{'}\backslash ne\; q\text{'}$에 대해, 만약 $p\; \backslash equiv\; p\text{'}\; \backslash pmod\{4\}$이고 $q\; \backslash equiv\; q\text{'}\; \backslash pmod\{4\}$이면, $\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)\; =\backslash left(\backslash frac\{p\text{'}\}\{q\text{'}\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{q\text{'}\}\{p\text{'}\}\backslash right)$이다. 이는 상호 법칙의 결과값 $\backslash pm\; 1$이 소수 자체보다는 4를 법으로 한 합동류에만 의존한다는 것을 보여준다.
• '''모델의 공식''':^[25] 정수 $a,\; b,\; c$에 대해, 이차 형식 $ax^2\; +\; by^2\; +\; cz^2\; =\; 0$의 해의 존재성에 관한 법칙이다.
• '''제타 함수 공식''': 이차 상호 법칙은 이차 체의 데데킨트 제타 함수가 리만 제타 함수와 특정 디리클레 L-함수의 곱으로 표현된다는 사실과 동치이다.

• '''가우스 정수''': $\backslash mathbb\{Z\}[i]\; =\; \backslash \{a+bi\; \backslash mid\; a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$의 원소인 가우스 정수에 대해서도 이차 상호 법칙이 성립한다. 2가 아닌 가우스 소수 $p$와 $p$의 배수가 아닌 가우스 정수 $k$에 대해 기호 $\backslash left[\backslash frac\{k\}\{p\}\backslash right]\_2$를 (k가 p를 법으로 제곱잉여이면 1, 아니면 -1) 정의하면, 특정 조건을 만족하는 서로 다른 가우스 소수 $p,\; q$ ($\backslash operatorname\{Re\}\; p\backslash equiv\backslash operatorname\{Re\}q\backslash equiv1\backslash pmod2,\; \backslash operatorname\{Im\}\; p\backslash equiv\backslash operatorname\{Im\}\; q\backslash equiv0\backslash pmod2$)에 대해 $\backslash left[\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right]\_2\; =\; \backslash left[\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right]\_2$와 같은 상호 법칙 및 보충 법칙($i$와 $1+i$에 대한)이 성립한다.
• '''아이젠슈타인 정수''': $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash omega]\; =\; \backslash \{a+b\backslash omega\; \backslash mid\; a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; \backslash omega=e^\{2\backslash pi\; i/3\}\backslash \}$의 원소인 아이젠슈타인 정수에 대해서도 유사한 이차 상호 법칙이 존재한다. 아이젠슈타인 소수 $p$ ($N(p)\backslash ne3$, 여기서 $N$은 체 노름)와 $p$의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수 $k$에 대해 기호 $\backslash left[\backslash frac\{k\}\{p\}\backslash right]\_2$를 (k가 p를 법으로 제곱잉여이면 1, 아니면 -1) 정의하면, 특정 조건을 만족하는 서로 다른 아이젠슈타인 소수 $p,\; q$ ($p=a+b\backslash omega,\; q=c+d\backslash omega$에서 $3\backslash nmid\; a,\; 3\backslash mid\; b,\; 3\backslash nmid\; c,\; 3\backslash mid\; d$)에 대해 $\backslash left[\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right]\_2\; \backslash left[\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right]\_2\; =\; (-1)^\{(N(p)-1)(N(q)-1)/4\}$와 같은 상호 법칙 및 보충 법칙($1-\backslash omega$와 $2$에 대한)이 성립한다.

5. 이차 상호 법칙의 확장

가우스 정수 $\backslash mathbb\; Z[i]$에서도 이차 상호 법칙과 유사한 법칙이 성립한다. 2가 아닌 가우스 소수 $p\backslash in\backslash mathbb\; Z[i]$와 $p$의 배수가 아닌 가우스 정수 $k\backslash in\backslash mathbb\; Z[i]$에 대해 르장드르 기호와 유사하게 이차 지표를 다음과 같이 정의한다.

:

• 1 &p\nmid k\land \nexists n\in\mathbb Z[i]\colon n^2\equiv k\pmod p \\

• 1 &\text{그렇지 않은 경우}

나는 이 과목의 역사와 원분론과의 연관성을 알지 못했던 학생으로서, 그 법칙이나 소위 "초등적인 증명"이 매력적이라고 생각하지 않았다. 비록 그렇게 표현할 수는 없었지만, 나는 그것을 당시 내가 되고자 희망했던 진지한 수학자보다는 아마추어를 위한 수학적 호기심 정도로 밖에 보지 못했던 것 같다. 헤르만 바일의 수의 대수적 이론에 관한 책^[28]에서 나는 그것을 그 이상으로 인식하게 되었다.

6. 역사

레온하르트 오일러와 아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(Disquisitiones arithmeticae|디스퀴시티오네스 아리트메티카이^la)에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(Theorema fundamentale|테오레마 푼다멘탈레^la)라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.^[41][40]

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 240개 이상에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.^[41][40]

이차 상호 법칙은 현대적인 형태를 갖추기 전 여러 방식으로 공식화되었다. 오일러와 르장드르는 가우스의 합동 기호를 사용하지 않았고, 가우스 역시 르장드르 기호를 사용하지 않았다.

이 문서에서 ''p''와 ''q''는 항상 서로 다른 양의 홀수 소수를, ''x''와 ''y''는 특정되지 않은 정수를 나타낸다.

페르마는 소수를 이차 형식으로 표현하는 것에 대한 여러 정리를 증명했거나 증명했다고 주장했다. 예를 들어 소수 ''p''에 대해 다음과 같다.

$\backslash begin\{align\}$

p=x^2+ y^2 \qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2 \quad \text{ 또는 } \quad p\equiv 1 \bmod{4} \\

p=x^2+2y^2 \qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2 \quad \text{ 또는 } \quad p\equiv 1, 3 \bmod{8} \\

p=x^2+3y^2 \qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3 \quad \text{ 또는 } \quad p\equiv 1 \bmod{3}

\end{align}

그는 이차 상호 법칙을 직접 언급하지는 않았지만, −1, ±2, ±3의 경우는 그의 다른 정리들로부터 쉽게 추론할 수 있다. 그는 또한 소수 ''p''가 7로 끝나고(10진법에서) 소수 ''q''가 3으로 끝나며, ''p'' ≡ ''q'' ≡ 3 (mod 4)이면, $pq=x^2+5y^2$임을 증명했다고 주장했다. 오일러는 이를 추측했고, 라그랑주는 다음을 증명했다.

$\backslash begin\{align\}$

p &\equiv 1, 9 \bmod{20}\quad \Longrightarrow \quad p = x^2+5y^2 \\

p, q &\equiv 3, 7 \bmod{20} \quad \Longrightarrow \quad pq=x^2+5y^2

\end{align}

페르마의 이러한 진술과 다른 진술들을 증명하는 것은 수학자들이 상호 법칙 정리에 도달하게 된 계기 중 하나였다.

오일러는 현대적인 표기법으로 번역하면, 서로 다른 홀수 소수 ''p''와 ''q''에 대해 다음과 같이 언급했다.

# 만약 ''q'' ≡ 1 (mod 4)이면, ''q''는 (mod ''p'')에서 제곱잉여이며, 이는 정수 ''b''가 존재하여 ''p'' ≡ ''b''² (mod ''q'')인 경우와 같다.

# 만약 ''q'' ≡ 3 (mod 4)이면, ''q''는 (mod ''p'')에서 제곱잉여이며, 이는 홀수이고 ''q''로 나누어 떨어지지 않는 정수 ''b''가 존재하여 ''p'' ≡ ±''b''² (mod 4''q'')인 경우와 같다.

이는 이차 상호 법칙과 동치이다. 그는 이를 증명할 수 없었지만, 제2보충 법칙은 증명했다. 페르마는 ''p''가 소수이고 ''a''가 정수일 때, $a^p\backslash equiv\; a\; \backslash bmod\{p\}$임을 증명했다. 따라서 ''p''가 ''a''를 나누지 않으면, 법 ''p''에 따른 잉여류가 체를 형성하고 곱셈군은 순환군이므로, $a^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\}\; \backslash equiv\; \backslash pm\; 1\; \backslash bmod\{p\}$가 성립한다.

르장드르^[10]는 ''a''와 ''A''를 양의 소수 ≡ 1 (mod 4)로, ''b''와 ''B''를 양의 소수 ≡ 3 (mod 4)로 나타내고, 이차 상호 법칙과 동치인 8개의 정리를 다음과 같이 표로 정리했다.

그는 $N^\{\backslash frac\{c-1\}\{2\}\}\backslash bmod\{c\},\; \backslash qquad\; \backslash gcd(N,\; c)\; =\; 1$ 형식의 표현식이 자주 나타나므로 $\backslash left(\backslash frac\{N\}\{c\}\backslash right)\; \backslash equiv\; N^\{\backslash frac\{c-1\}\{2\}\}\; \backslash bmod\{c\}\; =\; \backslash pm\; 1$로 축약한다고 말했다. 이것은 현재 르장드르 기호로 알려져 있으며, 오늘날에는 다음과 같은 동치^[11][12] 정의가 사용된다: 모든 정수 ''a''와 모든 홀수 소수 ''p''에 대해



가우스는 처음으로 보충 법칙을 증명했다.^[14] 그는 ±3과 ±5에 대해 정리를 증명함으로써 귀납법의 기초를 마련했다.^[15] −3과 +5에 대해 +3 또는 −5보다 진술하기 쉽다는 것을 언급하면서^[16] 그는 일반적인 정리를 다음과 같은 형태로 진술했다:^[17]

다음 문장에서 그는 그것을 "기본 정리"라고 명명했다(가우스는 "상호 법칙"이라는 단어를 사용한 적이 없다).

''a''가 2차 잉여(또는 비잉여)(mod ''b'')임을 의미하는 표기법 ''a'' R ''b''(또는 ''a'' N ''b'')를 도입하고, ''a'', ''a''′ 등이 ≡ 1 (mod 4)인 양의 소수를 나타내고, ''b'', ''b''′ 등이 ≡ 3 (mod 4)인 양의 소수를 나타내면서, 그는 이것을 르장드르와 같은 8가지 경우로 나눈다.

다음 항에서 그는 이것을 기본적으로 야코비 기호에 대한 규칙으로 일반화한다. ''A'', ''A''′ 등이 ≡ 1 (mod 4)인 (소수 또는 합성) 양수를 나타내고, ''B'', ''B''′ 등이 ≡ 3 (mod 4)인 양수를 나타낼 때:

이러한 모든 경우는 "소수가 (mod 합성수) 잉여이면, 그 합성수는 (mod 소수) 잉여 또는 비잉여가 된다. 이는 합동식 (mod 4)에 따라 달라진다"는 형식을 취한다. 그는 이것이 경우 1) - 8)에서 유도됨을 증명한다.

가우스는 르장드르가 필요로 했던 것과 유사한 보조 정리를 증명해야 했고, 증명할 수 있었다.^[18]

'''가우스의 보조 정리.''' 만약 ''p''가 8을 법으로 1과 합동인 소수라면, 다음을 만족하는 홀수인 소수 ''q''가 존재한다.



2차 상호 법칙의 증명은 강한 귀납법을 사용한다.

르장드르 기호로 표현된 가우스의 버전은 다음과 같다.



이것들은 결합될 수 있다. $q^*\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{q-1\}\{2\}\}q$로 정의하면, 즉 $|q^*|=|q|$ 이고 $q^*\backslash equiv\; 1\; \backslash bmod\{4\}$이면, 다음과 같이 표현된다.

$\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{q^*\}\{p\}\backslash right).$

특히 가우스 합을 기반으로 하거나^[19] 대수적 수체에서 소수의 분할을 기반으로 하는^[20][21] 이 정리의 여러 증명이 이 공식을 도출한다.

야코비 기호는 르장드르 기호의 일반화로, 주요 차이점은 밑수가 양의 홀수여야 하지만 소수일 필요는 없다는 점이다. 만약 밑수가 소수라면, 두 기호는 일치한다. 르장드르 기호와 동일한 조작 규칙을 따른다. 특히,

$\backslash begin\{align\}$

\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} &= \begin{cases} 1 & n \equiv 1 \bmod{4}\\ -1 & n \equiv 3 \bmod{4}\end{cases} \\

\left( \frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}{8}} &= \begin{cases} 1 & n \equiv 1, 7 \bmod{8}\\ -1 & n \equiv 3, 5\bmod{8}\end{cases} \\

\left( \frac{-2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2+4n-5}{8}} &= \begin{cases} 1 & n \equiv 1, 3 \bmod{8}\\ -1 & n \equiv 5, 7\bmod{8}\end{cases}

\end{align}

그리고 두 수가 양의 홀수일 경우 (이것은 때때로 "야코비 상호 법칙"이라고 불린다):

$\backslash left(\backslash frac\{m\}\{n\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{(m-1)(n-1)\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right).$

그러나 야코비 기호가 1이지만 분모가 소수가 아닌 경우, 분자가 분모의 이차 잉여라는 것을 반드시 따르지는 않는다. 가우스의 경우 9) - 14)는 야코비 기호를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\backslash left\; (\backslash frac\{M\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{(p-1)(M-1)\}\{4\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{M\}\backslash right\; ),$

그리고 ''p''가 소수이므로 좌변은 르장드르 기호이며, ''M''이 ''p'' 모듈로 잉여인지 여부를 알 수 있다.

아이젠슈타인 공식은 다음과 같다: 다음과 같은 양의 홀수 정수 $a,\; b,\; a\text{'},\; b\text{'}$가 있고, $\backslash gcd(a,b)\; =\backslash gcd(a\text{'},b\text{'})=\; 1$, $a\; \backslash equiv\; a\text{'}\; \backslash bmod\{4\}$, $b\; \backslash equiv\; b\text{'}\; \backslash bmod\{4\}$이면

$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash right)\; =\backslash left(\backslash frac\{a\text{'}\}\{b\text{'}\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{b\text{'}\}\{a\text{'}\}\backslash right).$

이차 상호 법칙의 초기 증명은 비교적 불분명했다. 가우스가 가우스 합을 사용하여 이차 체가 원분체의 부분체임을 보여주고, 원분체에 대한 상호 법칙에서 이차 상호 법칙을 암묵적으로 유도하면서 상황이 바뀌었다. 그의 증명은 이후의 대수적 수론학자들에 의해 현대적인 형태로 정립되었다. 이 증명은 류수론의 템플릿 역할을 했으며, 이는 이차 상호 법칙의 광범위한 일반화로 볼 수 있다.

로버트 랭글랜즈는 랭글랜즈 프로그램을 공식화했는데, 이는 류수론의 추측성 광범위한 일반화를 제공한다. 그는 다음과 같이 적었다:^[27]

삼차 및 사차 상호 법칙은 야코비, 아이젠슈타인에 의해 독립적으로 증명되었다(1844년에 아이젠슈타인이 증명을 공표). 더 고차의 또한 일반적인 대수적 정수에서의 일반적인 상호 법칙의 증명은(힐베르트의 제9문제), 다카기 테이지 및 에밀 아르틴에 의해 이루어졌다.(아르틴 상호 법칙 참조)

7. 응용

이차 상호 법칙은 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 데 유용하게 사용된다. 직접 판별하기 어려운 경우 이차 상호 법칙과 르장드르 기호의 성질을 이용하면 계산을 단순화할 수 있다.

예를 들어, 합동식 $x^2\; \backslash equiv\; 57\; \backslash pmod\{127\}$이 해를 가지는지 판별해 보자. 이는 르장드르 기호 $\backslash left(\; \backslash frac\{57\}\{127\}\; \backslash right)$의 값을 구하는 문제와 같다. 127은 소수이다.

르장드르 기호의 곱셈 성질에 따라 $57\; =\; 3\; \backslash times\; 19$이므로,

:$\backslash left(\; \backslash frac\{57\}\{127\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{3\}\{127\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash frac\{19\}\{127\}\; \backslash right)$

이다. 여기서 3, 19, 127은 모두 소수이다. 3과 127은 모두 $4k+3$ 꼴의 소수이므로 이차 상호 법칙에 의해,

:$\backslash left(\backslash frac\{3\}\{127\}\backslash right)\; =(-1)^\{\backslash frac\{(3-1)(127-1)\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{127\}\{3\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{2\; \backslash times\; 126\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{127\}\{3\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{63\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; =\; (-1)(1)\; =\; -1$

이다. (여기서 $127\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{3\}$이므로 $\backslash left(\backslash frac\{127\}\{3\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; =\; 1$이다.)

마찬가지로 19와 127도 모두 $4k+3$ 꼴의 소수이므로 이차 상호 법칙을 적용한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{19\}\{127\}\backslash right)\; =(-1)^\{\backslash frac\{(19-1)(127-1)\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{127\}\{19\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{18\; \backslash times\; 126\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{127\}\{19\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{567\}\backslash left(\backslash frac\{13\}\{19\}\backslash right)\; =\; (-1)\backslash left(\backslash frac\{13\}\{19\}\backslash right)$

이다. (여기서 $127\; =\; 6\; \backslash times\; 19\; +\; 13$이므로 $127\; \backslash equiv\; 13\; \backslash pmod\{19\}$이다.)

이제 $\backslash left(\backslash frac\{13\}\{19\}\backslash right)$를 계산해야 한다. 13은 $4k+1$ 꼴, 19는 $4k+3$ 꼴 소수이다. 이차 상호 법칙에 의해,

:$\backslash left(\backslash frac\{13\}\{19\}\backslash right)\; =(-1)^\{\backslash frac\{(13-1)(19-1)\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{19\}\{13\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{12\; \backslash times\; 18\}\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{19\}\{13\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{54\}\backslash left(\backslash frac\{6\}\{13\}\backslash right)\; =\; (1)\backslash left(\backslash frac\{6\}\{13\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{6\}\{13\}\backslash right)$

이다. (여기서 $19\; \backslash equiv\; 6\; \backslash pmod\{13\}$이다.)

르장드르 기호의 성질을 이용하여 $\backslash left(\backslash frac\{6\}\{13\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{13\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{3\}\{13\}\backslash right)$로 분리한다.

• $\backslash left(\backslash frac\{2\}\{p\}\backslash right)$에 대한 보충 법칙에 의해, $13\; \backslash equiv\; 5\; \backslash pmod\{8\}$이므로 $\backslash left(\backslash frac\{2\}\{13\}\backslash right)\; =\; -1$이다.
• $\backslash left(\backslash frac\{3\}\{13\}\backslash right)$의 경우, 3은 $4k+3$ 꼴, 13은 $4k+1$ 꼴 소수이므로, 이차 상호 법칙에 의해

$f(n)$을 나누는 소수 $p$를 관찰하면, $p=2,\; 5$ 이거나 마지막 자리가 1 또는 9인 소수들(예: 11, 19, 29, 31, 41, 59, 61, 71, 79, 89, ...)임을 알 수 있다. 마지막 자리가 3 또는 7인 소수(예: 3, 7, 13, 17, 23, ...)는 나타나지 않는다.

소수 $p$가 어떤 $n^2-5$의 소인수라는 것은 $n^2\; -\; 5\; \backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\{p\}$, 즉 $n^2\; \backslash equiv\; 5\; \backslash pmod\{p\}$임을 의미한다. 이는 5가 법 $p$에 대한 이차 잉여일 때 발생한다. 이차 상호 법칙에 따르면, $p\; \backslash neq\; 2,\; 5$일 때 $\backslash left(\backslash frac\{5\}\{p\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{5\}\backslash right)$이다. 즉, 5가 법 $p$에 대한 이차 잉여인 조건은 $p$가 법 5에 대한 이차 잉여인 조건과 같다. 법 5에 대한 이차 잉여는 $1^2\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{5\}$와 $2^2\; \backslash equiv\; 4\; \backslash pmod\{5\}$, $3^2\; \backslash equiv\; 9\; \backslash equiv\; 4\; \backslash pmod\{5\}$, $4^2\; \backslash equiv\; 16\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{5\}$이므로, 1과 4이다. 따라서 $p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{5\}$ 또는 $p\; \backslash equiv\; 4\; \backslash pmod\{5\}$인 소수들만이 $n^2-5$의 소인수가 될 수 있다. 이는 위 표에서 관찰된 패턴(마지막 자리가 1, 9 또는 4, 6인 소수, 즉 $p\; \backslash pmod\{10\}$이 1 또는 9인 경우)과 일치한다.

이차 상호 법칙은 페르마의 두 제곱수 정리를 증명하는 데에도 사용될 수 있다. 이 정리는 $4k+1$ 형태의 소수 $p$는 두 제곱수의 합 $p\; =\; x^2\; +\; y^2$으로 표현될 수 있으며, 그 표현은 유일하다(순서 제외)는 내용이다. 예를 들어, $5\; =\; 1^2\; +\; 2^2$, $13\; =\; 2^2\; +\; 3^2$, $17\; =\; 1^2\; +\; 4^2$ 등이 있다.

증명의 한 과정에서, $4k+1$ 형태의 소수 $p$에 대해 $-1$이 법 $p$에 대한 이차 잉여임을 보여야 하는데, 이는 이차 상호 법칙의 제1 보충 법칙 $\backslash left(\backslash frac\{-1\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\}$로부터 직접 도출된다. $p\; =\; 4k+1$이면 $\backslash frac\{p-1\}\{2\}\; =\; 2k$는 짝수이므로 $\backslash left(\backslash frac\{-1\}\{p\}\backslash right)\; =\; 1$이 되어, $A^2\; \backslash equiv\; -1\; \backslash pmod\{p\}$인 정수 $A$가 존재함을 알 수 있다. 이는 $A^2\; +\; 1^2\; =\; rp$ 형태의 식을 구성하는 데 사용되며, 디오판틴 방정식의 해를 찾는 알고리즘을 통해 최종적으로 $p\; =\; x^2\; +\; y^2$ 형태를 유도할 수 있다.

이처럼 이차 상호 법칙은 특정 수가 제곱잉여인지 판별하거나, 특정 형태의 소수에 대한 성질을 증명하는 등 정수론의 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 나아가 현대 암호학, 특히 공개키 암호 시스템 등에서는 소수와 관련된 연산이 핵심적인 역할을 하므로, 이차 상호 법칙과 같은 정수론의 기초 이론은 정보 보안 기술의 발전에 간접적으로 기여한다고 볼 수 있다. 이러한 이론적 기반은 대한민국의 과학기술 발전 및 관련 산업 경쟁력 강화에도 중요한 의미를 지닌다.

참조

_[1] 문서 Gauss, DA § 4, arts 107–150
_[2] 웹사이트 facsimile page from Felix Klein's ''Development of Mathematics in the 19th century'' https://books.google[...]
_[3] 문서 See F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs in the external references
_[4] 논문 A Minimalist Proof of the Law of Quadratic Reciprocity
_[5] 문서 Lemmermeyer, pp. 2–3
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_[9] 문서 Ireland & Rosen, pp. 69–70. His proof is based on what are now called Gauss sums.
_[10] 문서 This section is based on Lemmermeyer, pp. 6–8
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_[12] 문서 The analogue of Legendre's original definition is used for higher-power residue symbols
_[13] 문서 E.g. Kronecker's proof (Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34) is to use Gauss's lemma to establish that
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_[15] 문서 Gauss, DA, arts 117–123
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_[17] 문서 Gauss, DA, Art 131
_[18] 문서 Gauss, DA, arts. 125–129
_[19] 문서 Because the basic Gauss sum equals $\backslash sqrt\{q^*\}.$
_[20] 문서 Because the quadratic field $\backslash Q(\backslash sqrt\{q^*\})$ is a subfield of the cyclotomic field $\backslash Q(e^\{\backslash frac\{2\backslash pi\; i\}\{q\}\})$
_[21] 문서 See Connection with cyclotomic fields below.
_[22] 문서 Ireland & Rosen, pp 60–61.
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_[26] 문서 By Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1837
_[27] 웹사이트 Archived copy http://www.math.duke[...] 2013-06-27
_[28] 서적 Algebraic Theory of Numbers Princeton University Press
_[29] 문서 Gauss, BQ § 60
_[30] 문서 Dirichlet's proof is in Lemmermeyer, Prop. 5.1 p.154, and Ireland & Rosen, ex. 26 p. 64
_[31] 문서 Lemmermeyer, Prop. 5.1, p. 154
_[32] 문서 See the articles on Eisenstein integer and cubic reciprocity for definitions and notations.
_[33] 문서 Lemmermeyer, Thm. 7.10, p. 217
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_[35] 문서 Lemmermeyer Thm. 8.18, p. 260
_[36] 서적 Bach & Shallit, Thm. 6.7.1
_[37] 서적 Lemmermeyer, p. 15, and Edwards, pp.79–80 both make strong cases that the study of higher reciprocity was much more important as a motivation than Fermat's Last Theorem was
_[38] 서적 Lemmermeyer, p. viii
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_[40] 웹사이트 Proofs of and Bibliography on the Quadratic Reciprocity Law http://www.rzuser.un[...] 2017-08-30
_[41] 웹인용 Proofs of the Quadratic Reciprocity Law http://www.rzuser.un[...]